Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiệnf1=0 và ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=ex−14 . Tính tích phân ∫01fxdx bằng

Đáp án D

Đặt u=fxdv=x+1exdx⇔du=f'xv=∫x+1exdx=x.ex .

Suy ra ∫01x+1exfxdx=xex.fx01−∫01xex.f'xdx⇒∫01xex.f'xdx=1−e24 .

Chọn k sao cho

∫01f'x+k.xex2dx=0⇔∫01f'x2dx+2k.∫01xex.f'xdx+k2.∫01x2e2xdx=0

⇔e2−14−2k.e2−14+k2.e2−14=0⇔k−12=0⇔k=1⇒f'x=−xex.

Do đó fx=∫f'xdx=−∫xexdx=−x−1ex+C  mà f1=0⇒C=0 .

Vậy fx=−x−1ex⇒∫01fxdx=∫011−xexdx=e−2 .