Cho hàm số y=x3−3x2 có đồ thị (C) và điểm M(m;-4) .Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-10;10] sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) .

Đáp án C

Gọi Aa;a3−3a2∈C

Ta có y'=3x2−6x⇒  phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

 y=3a2−6ax−a+a3−3a2

Để d đi qua điểm Mm;−4  thì: −4=3a2−6am−a+a3−3a2 .

⇔a3−3a2+4+3aa−2m−a=0⇔a−2a2−a−2+a−23ma−3a2=0.

⇔a−2−2a2+3m−1a−2=0⇔a=2ga=2a2−3m−1a+2=0Để qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C⇔ga=0  có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔Δ=3m−12−16>0g2=12−6m≠0⇔3m−1>43m−1<−4m≠2⇔m>53m<−1m≠2.

Kết hợp m∈ℤm∈−10;10⇒  có 17 giá trị của m.