Tìm m để bất phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1 đúng với mọi x∈R

Đặt y=3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1

⇒y=3sin2x+cos2xsin2x+21+cos2x+1

⇒y=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3

⇔y.sin2x+2y.cos2x+3y=3.sin2x+cos2x

⇔y−3.sin2x+2y−1.cos2x=−3y*

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

y−3.sin2x+2y−1.cos2x≤y−32+2y−12

Kết hợp với (*) ta được:

9y2≤y−32+2y−12

⇔y≤−5+654

⇒maxy=−5+654

Để bất phương trình y≤m+1;x∈R

⇔m+1≥maxy=−5+654

⇔m≥65−94

Đáp án cần chọn là: D