Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 =z−z¯ và (z−2).z¯−2i =z+2i2 ?

Đáp án đúng là: D

(z−2).z¯−2i =z+2i2 ⇔z−2z¯−2i  =z+2iz¯−2i

⇔z¯−2i.z−2−z+2i  = 0

Trường hợp 1.

z¯−2i= 0 ⇔z¯  = 2i ⇔  z = −2i

Trường hợp 2.

z−2−z+2i= 0⇔z−2 = z+2i  = 0

Đặt z = x + y.i ta có z − 2 = x − 2 + y.i và z + 2i = x + (y+2).i

Khi đó

z−2=z+2i⇔ (x − 2)² + y² = x² +(y + 2)²

 ⇔x² − 4x + 4 + y² = x² + y² + 4y + 4

⇔−4x = 4y x = −y

Lại có:z2 =z−z¯⇔ x² + y² = 2y

⇔2y² = 2y⇔ 2y .y−1  = 0

⇔y = 0 hoặc y = ±1

Do đó ta có các số z Î {0; 1 − i; −1 + i; −2i} thỏa mãn.

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán