Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=1cm,AC=3cm . Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng 55π6cm3 . Tính khoảng cách từ C đến SAB .

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của SA.

Tam giác SAB, SAC vuông tại B,C⇒IS=IA=IB=IC⇒I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của BC. Vì ΔABC  vuông tại A⇒H  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC⇒IH⊥ABC .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Theo đề bài ta có:

43πR3=55π6⇔R3=558=1258⇔R=52⇒IS=IA=IB=IC=52.

Xét tam giác vuông ABC có: BC=AB2+AC2=2⇒AH=1 .

Xét tam giác vuông IAH có: IH=IA2−AH2=54−1=12 .

SΔABC=12.AB.AC=12.1.3=32⇒VI.ABC=13.IH.SΔABC=13.12.32.

Ta có: SI∩ABC=A⇒dS;ABCdI;ABC=SAIA=2⇒VS.ABCVS.IBC=2⇒VS.ABC=2VI.ABC=2.312=36 .

Xét tam giác vuông SAB có IB=52⇒SA=2IB=5⇒SB=SA2−AB2=2 ⇒SΔSAB=12.1.2=1.

Ta có: VS.ABC=13dC;SAB.SΔSAB⇒dC;SAB=3VS.ABCSΔSAB=3.361=32.