Cho hàm số y=fx liên tục trên đoạn 0;4 và thỏa mãn điều kiện 4xfx2+6f2x=4−x2 . Tính tích phân ∫04fxdx .

Đáp án A

Ta có: 4xfx2+6f2x=4−x2⇒∫024xfx2+6f2xdx=∫024−x2dx ⇔4I1+6I2=I.

.

Trong đó: I1=∫02xfx2dx=12∫02fx2dx2=12∫04fxdx.

I2=∫02f2xdx=12∫02f2xd2x=12∫04fxdx.I=∫024−x2dx=2∫0π24−4sin2tcostdt=4∫0π2cos2tdt=2∫0π21+cos2tdt=2t+sin2tπ20=π

Khi đó ta có hệ: I1=I24I1+6I2=π⇔I1=I2=π10⇔12∫04fxdx=π10  hay ∫04fxdx=π5 .