Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−10;10] để hàm số y=x3−3x2+3mx+2019 nghịch biến trên khoảng (1;2)?

Đáp án A

TXĐ: D=ℝ.  Ta có: y'=3x2−6x+3m  .

Để hàm số đã cho nghịch biến trên (1;2) thì y'≤0,∀x∈(1;2)  và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

⇔3x2−6x+3m≤0∀x∈(1;2)⇔x2−2x+m≤0∀x∈(1;2)

⇔(x−1)2+m−1≤0∀x∈(1;2)⇔1−m≥(x−1)2∀x∈(1;2)

Hàm số y=(x−1)2  đồng biến trên (1;+∞)  nên cũng đồng biến trên (1;2).

⇒(1−1)2<(x−1)2<(2−1)2⇔0<(x−1)2<1

⇒1−m≥(x−1)2∀x∈(1;2)⇔1−m≥1⇔m≤0

Lại có m∈[−10;10]  và m∈Z  nên m∈{−10;−9;…;0} .

Vậy có 11 giá trị của m.