Trong không gian , cho các điểm A(1;4;5); B(0;3;1), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0 . Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc (P) sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ M đến A, B, C nhỏ nhất. Tính a+b+c .

Đáp án D

Xét biểu thức T=MA2+MB2+MC2

Gọi G(1;2;2)  là trọng tâm của tam giác ABC thì GA→+GB→+GC→=0→ .

Ta có: T=MA→2+MB→2+MC→2=(MG→+GA→)2+(MG→+GB→)2+(MG→+GC→)2 =3MG→+2MG→(GA→+GB→+GC→)+GA→2+GB→2+GC→2=3MG2+GA2+GB2+GC2

Gọi H là hình chiếu của G lên (P) thì MG≥HG  nên  đạt GTNN nếu M≡H .

Viết phương trình đường thẳng d đi qua G(1;2;2) và vuông góc (P).

Khi đó d nhận n(P)→=(3;−3;−2)  làm véctơ chỉ phương nên d:{x=1+3ty=2−3tz=2−2t

M=d∩(P) nên tọa độ của  thỏa mãn hệ phương trình

{x=1+3ty=2−3tz=2−2t3x−3y−2z−15=0.

⇒3(1+3t)−3(2−3t)−2(2−2t)−15=0⇔−22+22t=0⇔t=1⇒M(4;−1;0)

⇒a=4,b=−1,c=0⇒a+b+c=3