Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số \[y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\] có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng \[y = 3\] cắt trục tung, đồ thị hàm số \[y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\] lần lượt tại các điểm \[H,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N.\] Biết rằng \[HM = 2MN.\] Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án C

Ta có

\(H\left( {0;3} \right),M\left( {{x_M};3} \right),N\left( {{x_N};3} \right){\rm{;\;}}\overrightarrow {HM} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow {x_M} = 2\left( {{x_N} - {x_M}} \right) \Rightarrow 3{x_M} = 2{x_N}.\)

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^} = 3}\\{{b^} = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = {{\log }_a}3}\\{{x_N} = {{\log }_b}3}\end{array}} \right. \Rightarrow 3{\log _a}3 = 2{\log _b}3 \Rightarrow \frac{3}{{{{\log }_3}a}} = \frac{2}{{{{\log }_3}b}}\)

\( \Rightarrow 2{\log _3}a = 3{\log _3}b \Rightarrow {\log _3}{a^2} = {\log _3}{b^3} \Rightarrow {a^2} = {b^3}.\)