Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y=2x+m cắt đồ thị hàm số y=x+3x+1 tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất?

Đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x+m=x+3x+1⇔(2x+m)(x+1)=x+3

 ⇔2x2+(m+1)x+m−3=0(*) (x≠−1 )

Đường thẳng y=2x+m  cắt đồ thị hàm số y=x+3x+1  tại hai điểm phân biệt x1, x2  (*) có hai nghiệm phân biệt  khác -1.

⇔{Δ=(m+1)2−4.2(m−3)>02.(−1)2+(m+1).(−1)+m−3≠0⇔{m2−6m+25>0−2≠0

 (luôn đúng).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: {x1+x2=−m+12x1x2=m−32 .

Gọi hai giao điểm là M(x1;2x1+m), N(x2;2x2+m) .

Khi đó MN=(x2−x1)2+(2x2−2x1)2=5(x22−2x2x1+x12)=5[(x2+x1)2−4x1x2] .

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được: MN2=5[(m+12)2−4.m−32]=5(m2+2m+14−2(m−3))=54(m2+2m+1−8m+24)

=54(m2−6m+25)=54[(m−3)2+16]≥54.16=20.

⇒MN2≥20⇒mn≥25⇒minMN=25  khi m=3