Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3 C Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OA=2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Ta có y'=3x2+12x+9;y''=6x+12=0⇔x=−2

Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(−2;1)

Xét đường thẳng d đi qua U(−2;1) có phương trình y=kdx+2+1 hay y=kdx+2kd+1

d cắt Ox,Oy lần lượt tại A−2kd+1kd;0,B0;2kd+1

OA=2017.OB⇔2kd+1kd=20172kd+1⇔kd=±12017;kd=−12

Nếu kd=−12 thì y=−12x nên A≡B  (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của d là kd=±12017Do đó có 2 đường thẳng d thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị k thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C