Cho hàm số y=x4−2mx2+m, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn γ:x2+y−12=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Đường tròn γ: x2+y−12=4có tâm I0; 1,R=2

Ta có A1; 1−m;y'=4x3−4mx⇒y'1=4−4m

Suy ra phương trình Δ:y=4−4mx−1+1−m

Dễ thấy Δ luôn đi qua điểm cố định F34; 0 và điểm F nằm trong đường tròn γ

Giả sử Δ cắt γ tại M, N. Thế thì ta có:

Do đó MN nhỏ nhất ⇔dI; Δ lớn nhất ⇔dI; Δ=IF⇒Δ⊥IF

Khi đó đường Δ có 1 vectơ chỉ phươngu→⊥IF→=34; −1;u→=1;  4−4m nên ta có: u→.IF→=0⇔1.34−4−4m=0⇔m=1316