Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+12+z−22=9 và điểm M1;3;−1 . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn C có tâm Ja;b;c . Giá trị 2a+b+c bằng

Ta có mặt cầu S  có tâm I1;−1;2  và bán kính R=3 .

Khi đó IM=5>R⇒M  nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình đường thẳng MI là x=1x=−1+4tz=2−3t .

Tâm Ja;b;c  nằm trên MI nên J1;−1+4t;2−3t .

Xét ΔMHI  vuông tại H có

MI=5; IH=3⇒MH=MI2−HI2=4

Mặt khác M1;3;−1J1;−1+4t;2−3t⇒MJ=−4+4t2+3−3t2 .

MJ.MI=MH2⇒MJ=165⇔−4+4t2+3−2t2=25625⇔25t2−50t+36925=0⇔t=925t=4125

Suy ra J1;1125;2325  hoặc J1;13925;−7325 .

+) Với J1;1125;2325  thì IJ=95

+) Với J1;13925;−7325  thì IJ=415>IM  (loại).

Vậy J1;1125;2325  nên 2a+b+c=8425 .

Chọn C.