Hệ số của số hạng thứ 12 trong khai triển nhị thức \({\left( {3 - x} \right)^{15}}\) theo lũy thừa tăng dần của \(x\) là

Đáp án A

Phương pháp:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton, khai triển nhị thức đã cho.

- Tìm hệ số của số hạng thứ 12 trong khai triển và kết luận.

Cách giải:

Ta có:

\({\left( {3 - x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( x \right)}^k}} \)

\( = C_{15}^0 - C_{15}^1{.3^{14}}x + C_{15}^2{.3^{13}}{x^2} - ... + C_{15}^{14}.3{x^{14}} - C_{15}^{15}{x^{15}}\)

Lũy thừa của \(x\) tăng dần ứng với \(k\) tăng dần nên số hạng thứ 12 là \(C_{15}^{11}{3^{15 - 11}}{\left( { - 1} \right)^{11}}{x^{11}}\).

Hệ số của số hạng trên là \(C_{15}^{11}{3^4}{\left( { - 1} \right)^{11}} = - {3^4}C_{15}^{11} = - 110565\).