Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình log5[f(x)+m+2]+f(x)>4−m đúng với mọi x∈(−1;4) khi và chỉ khi

Đáp án D

Ta có:    log5[f(x)+m+2]+f(x)>4−m⇔log5[f(x)+m+2]+f(x)+m+2>log55+5

Xét hàm số   y=g(t)=log5t+t (t>0)

Ta có g'(t)=1tln5+1>0 , ∀t>0  suy ra hàm số y=g(t)  đồng biến trên (0;+∞) .

Khi đó (*)⇔f(x)+m+2>5⇔f(x)>3−m .

Xét hàm số y=f(x)

Ta có  f'(x)=0⇔[x=−1x=1x=4

Ta có bảng biến thiên

Từ đồ thị hàm số, suy ra  ∫−11|f'(x)|dx<∫14|f'(x)|dx⇒∫−11f'(x)dx<−∫14f'(x)dx

⇒f(x)|1−1<−f(x)|41⇒f(−1)>f(4).

Bất phương trình (*)   đúng với mọi x∈(−1;4)  khi và chỉ khi .f(4)≥3−m⇔m≥3−f(4)