Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=6 , AD=3 , A'C=3 và mặt phẳng (AA'C'C) vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (AA'C'C) và (AA'B'B) tạo với nhau góc α , thỏa mãn tanα=34 . Thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' bằng

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của AA'.

Ta có AC=AB2+BC2=6+3=3=A'C .

Do đó tam giác AA'C cân tại C.

Dựng A'E⊥AC  , do (AA'C'C)  vuông góc với đáy nên A'E⊥(ABCD) .

Lấy F∈AB  sao cho FE⊥AC  , mà FE⊥A'E  nên FE⊥(ACC'A') , suy ra FE⊥AA' .

Dựng EG⊥AA'  mà FE⊥AA'   nên FG⊥AA' .

Do đó góc giữa mặt phẳng (AA'C'C)  và  (AA'B'B) là góc EGF^  .

Ta có tanEGF^=EFEG=34⇒EG=43EF  mà tanEAF^=EFEA=BCAB=36⇒EA=2EF

Từ đó suy ra  sinGAE^=GEAE=43EF2EF=223=MCAC⇒MC=22

AM=AC2−MC2=9−8=1⇒AA'=2

Ta có sinGAE^=223=A'EAA'=A'E2⇒A'E=423

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'  là  V=A'E.AB.BC=423.6.3=8