Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho1OP2+1OQ2+1OR2=18 . Biết mặt phẳng (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua M(12;32;0) và cắt tại hai điểm A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác AOB là

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (PQR) .

Dễ thấy 1OH2=1OP2+1OQ2+1OR2   hay 1OH2=18  hay OH=22 .

Khi đó suy ra mặt phẳng (PQR)  luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính R=22 .

Ta có OM=14+34+0=1

Gọi I là trung điểm của AB, do tam giác OAB cân tại O nên SΔOAB=12OI.AB .

Đặt OI=x , vì  OI≤OM nên 0

Ta có SΔOAB=12x.28−x2=x8−x2=8x2−x4  .

Xét hàm số f(x)=8x2−x4  với 0

Có f'(x)=16x−4x3=4x(4−x2)>0 , x∈(0;1]

⇒f(x)≤f(1)=7.

Suy ra diện tích của tam giác OAB lớn nhất bằng 7  đạt được khi M là trung điểm của AB.