Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x2=y2=z+3−1 và mặt cầu (S):(x−3)2+(y−2)2+(z−5)2=36 . Gọi Δ là đường thẳng đi qua vuông góc với đường thẳng (d) và cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng Δ có một vécơt chỉ phương là u→(1;a;b) . Tính a+b .

Đáp án D

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d⇒np→=ud→=(2;2;−1) .

Phương trình mặt phẳng (P):2(x−2)+2(y−1)−1(z−3)=0⇔2x+2y−z−3=0  .

Δ là đường thẳng đi qua A(2;1;3)   vuông góc với đường thẳng (d)⇒Δ⊂(P) .

Để  (Δ) cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất ⇒Δ  là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S)⇒J là hình chiếu của I(3;2;5) là tâm của  (S) trên (P)

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P)⇒d':{x=3+2ty=2+2tz=5−t

J∈⇒J(3+2t;2+2t;5−t)

J∈(P)⇒2(3+2t)+2(2+2t)−(5−t)−3=0

⇔9t+2=0⇔t=−29⇒J(239;149;479)

Δ đi qua J,A⇒Δ  nhận JA→=(−59;−59;−209)=−59(1;1;4)  là 1 véctơ chỉ phương. 

 ⇒u→=(1;1;4)cũng là 1 véctơ chỉ phương của JA→=Δ⇒{a=1b=4⇒a+b=1+4=5  .