Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3), B(5;2;−1) và hai điểm M, N thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho điểm I(1;2;0) luôn là trung điểm của MN. Khi biểu thức P=MA2+2NB2+MA¯.NB¯ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T=2xM−4xN+7yM−yN .

Đáp án A

Gọi M, N thuộc (xOy)  nên M(xM;yM;0), N(xN;yN;0) , theo giả thiết ta có hệ  {xM+xN=2yM+yN=4.

Khi đó  MA→=(1−xM;1−yM;3), NB→=(5−xN;2−yN;−1)=(xM+3;yM−2;−1)

P=MA2+2NB2+MA→NB→

=(1−xM)2+(1−yM)2+9+2(xM+3)2+2(yM−2)2+1+(1−xM)(xM+3)+(1−yM)(yM−2)−3

=2xM2+8xM+2yM2−7yM+37=2(xM+2)2+2(yM−74)2+1838≥1838

P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1838  khi {xM=−2yM=74⇒{xN=4yN=94

Vậy T=2xM−4xN+7yM−yN=2.(−2)−4.4+7.74−94=−10  .