Cho khối chóp S.ABC có SA=SB=SC=a , ASB^=60°, BSC^=90°, ASC^=120° . Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho CNSC=AMAB . Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S.AMN.

Đáp án C

Ta có thể tích khối chóp S.ABC là

V0=a361−(12)2−(−12)2=2a312.

Đặt  CNSC=AMAB=m  (với 0≤m≤1 ).

Ta có: SA→=a→, SB→=b→, SC→=c→, |a→|=|b→|=|c→|=a  ,

a→.b→=a22, b→.c→=0, a→.c→=−a22.

Theo đẳng thức trên ta có đẳng thức véctơ SN→=(1−m)c→  , SM→=SA→+AM→=a→+mAB→=a→+m(b→−a→)

⇒MN→=SN→−SM→=(1−m)c→−[a→+m(b→−a→)]=(m−1)a→−mb→+(1−m)c→.

Do đó MN2=[(m−1)a→−mb→+(1−m)c→]2=(3m2−5m+3)a2≥11a212 .

Dấu “=” xảy ra tại m=56

⇒V=SNSC.VS.ABC=SNSC.AMABV0=m(1−m)V0=56.16.2a312=52a3432.