Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, ∠BAD=600, SA=SC  và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất V0 của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Gọi O=AC∩BD ta có:

SA=SC⇒ΔSAC cân tại S⇒SO⊥AC

Tam giác SBD vuông cân tại S⇒SO⊥BD

⇒SO⊥ABCD

Trong (SBD), gọi I=MN∩BD

Đặt SMSB=x,  SNSD=y  (0

Ta có: VS.AMEVS.ABC=SMSB.SESC=12x⇒VS.AMEVS.ABCD=14x

VS.ANEVS.ADC=SNSD.SESC=12y⇒VS.ANEVS.ABCD=14y⇒VS.AMNEVS.ABCD=VS.AMEVS.ABCD+VS.ANEVS.ABCD=x+y4   1

Ta lại có: VS.AMNVS.ABD=SMSA.SNSD=xy⇒VS.AMNVS.ABCD=xy2

VS.MNEVS.BDC=SMSB.SNSD.SESC=12xy⇒VS.MNEVS.ABCC=xy4⇒VS.AMNEVS.ABCD=VS.AMNVS.ABCD+VS.MNEVS.ABCD=xy2+xy4=3xy4  2

Từ (1) và (2) ⇒x+y4=3xy4⇔x+y=3xy

⇔x=3x−1y⇔y=x3x−1  x≠13

Do x,  y>0⇒3x−1>0⇔x>13

Khi đó ta có VS.AMNEVS.ABCD=14x+x3x−1

Xét hàm số fx=x+x3x−1  x>13 ta có:

f'x=1−13x−12=0⇔3x−1=13x−1=−1⇔x=23x=0(ktm)BBT:

Dựa vào BBT ta thấy minVS.AMNE=14.43VS.ABCD=13VS.ABCD

⇒maxVABCDNEM=23VS.ABCD⇒V0=23VS.ABCDTa có: ΔABD đều cạnh 2AB=AD, ∠BAD=600⇒SABD=2234=3

⇒SABCD=23

Tam giác ABD đều cạnh 2 ⇒BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên

SO=12BD=1⇒VS.ABCD=13SO.SABCD=13.1.23=233

Vậy V0=23VS.ABCD=439Đáp án cần chọn là: D