Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2r − y − 2z – 2 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x − y − 2x + 10 = 0 song song với nhau. Biết A(1; 2; 1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

Ta thấy  M(1;0;0)  là một điểm thuộc  (P).

Vì  (P)//(Q) nên  d((P),(Q))=d(M,(Q))=|2+10|22+(−1)2+(−2)2=4

Giả sử  I(a;b;c) là tâm của  (S). Vì  (S) tiếp xúc với cả  (P) và  (Q)  nên bán kính mặt cầu (S) là  R=d((P),(Q))2=42=2.

Do đó  IA=2 nển I luôn thuộc mặt cầu  (T) tâm A, bán kính 2.

Ngoài ra,  d(I,(P))=d(I,(Q))⇔|2a−b−2c−2|22+(−1)2+(−2)2=|2a−b−2c+10|22+(−1)2+(−2)2 

⇔|2a−b−2c−2|=|2a−b−2c+10|⇔2a−b−2c−2=−(2a−b−2c+10)

 ⇔2a−b−2c+4=0.

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng  (R):2x−y−2z+4=0.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì  A,(R)  cố định nên H cố định.

Ta có  AH=d(A,(R))=|2.1−2−2.1+4|22+(−1)2+(−2)2=23.

Mà  AH⊥(R)⇒AH⊥HI, do đó  ΔAHI vuông tại H nên 

HI=AI2−AH2=22−232=423.

Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R) bán kính  r=423.

Chọn A