Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;−2;−1), B(-2;−4;3), C(1;3;−1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z − 3 = 0. Biết điểm M(a;b;c) ∈ (P) thỏa mãn T=|MA→+MB→+2MC→| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S=a+b+c

Cách 1. Ta có

T=|MA→+MB→+2MC→|=(4a)2+(4b)2+(4c)2=4a2+b2+c2≥4(a+b−2c)212+12+(−2)2=432=26.

Do đó T=|MA→+MB→+2MC→| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 26

⇔a1=b1=c−2a+b−2c−3=0⇔a=b=12c=−1

Cách 2. Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IC. Tính được I(−1;−3;1),J(0;0;0).

Khi đó T=|MA→+MB→+2MC→|=|2MI→+2MC→|=4|MJ→|=4MJ.Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên (P)

Gọi Δ là đường thẳng đi qua J và vuông góc với (P). Khi đó Δ có phương trình x=ty=tz=−2t.

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình

x+y−2z−3=0x=ty=tz=−2t⇔t=12x=12y=12z=−1⇒M12;12;−1⇒S=12+12−1=0.

Chọn C