Tìm tất cả các mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 3}}\] và tạo với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - z + 1 = 0\] góc \[45^\circ .\]

Đáp án đúng là: D

Giả sử mặt phẳng \[\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\] với \[{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\].

Đường thẳng \[d\] đi qua \[O\left( {0;0;0} \right)\] có vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 1; - 3} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d\] nên \[{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = 0\].

Suy ra \[A - B - 3C = 0\].

Mà mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[45^\circ \] nên

\[\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2A - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 2\left| {2A - C} \right| = \sqrt {10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow 4{\left( {2A - C} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 16{A^2} - 16AC + 4{C^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\] (1)

Thay \[A = B + 3C\] vào (1), được

\[ \Leftrightarrow 3{A^2} - 8AC - 3{C^2} = 5{B^2}\]

\[ \Leftrightarrow 3{\left( {B + 3C} \right)^2} - 8\left( {B + 3C} \right)C - 3{C^2} - 5{B^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow - 2{B^2} + 10BC = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 5C\\B = 0\end{array} \right.\].

Với \[B = 0 \Rightarrow A = 3C \Rightarrow \left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]

Với \[B = 5C\], chọn \[C = 1 \Rightarrow C = 5,A = 8\] nên \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]