Hai thị trấn A, B nằm ở hai phía một con sông như hình bên. Người ta muốn dựng một cầu MN vuông góc với hai bờ sông và làm 2 đường cao tốc AM, BN. Biết vị trí M trên bờ sông thỏa mãn tổng độ dài hai đoạn cao tốc AM, BN nhỏ nhất. Tính CM.

Ta có: \(\vec u = \overrightarrow {NM} \) là vectơ không đổi.

Xét phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) biến \(N\) thành M ; B thành \({B^\prime }\).

\( \Rightarrow NB = M{B^\prime }\)

Ta có: \(AM + BN = AM + M{B^\prime } \ge A{B^\prime }\) không đổi.

Vậy \(AM + BN\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M \equiv I\) (với \(I = A{B^\prime } \cap CE\) )

Ta có: \(\frac = \frac = \frac{8}{6} \Rightarrow \frac = \frac{8} = \frac{4}{7} \Rightarrow IC = 4\)

Vậy \(CM = 4\,\,km\).