Cho hàm số đa thức \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f(0) = 0,f( - 3) = f(4) = \frac{4}\) và đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) có dạng như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = - \left| {4f(x) - 2{x^2}} \right|\) trên \([ - 3;4]\) bằng

Xét hàm số \(h(x) = 4f(x) - 2{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(f(x)\) là hàm đa thức nên \(h(x)\) cūng là hàm đa thức và \(h(0) = 4f(0) - {2.0^2} = 0\).

Khi đó \({h^\prime }(x) = 4{f^\prime }(x) - 4x \Rightarrow {h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {f^\prime }(x) = x\).

Dưa vào sự tương giao của đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) và đường thẳng \(y = x\), ta có \({h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{  - 3;0;4\} \).

Ta có bảng biến thiên của \(h(x)\) như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số \[g(x) =  - |h(x)|\]  như sau:

Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) trên [−3;4] là −17.