Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 mét xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Tổng các quãng đường khi rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa là

Đặt \(h = 5(m)\).

Gọi \({h_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ \(n\).

Lần nảy lên đầu tiên, quả bóng đạt độ cao \({h_1} = \frac{2}{3}h\).

Lần nảy lên thứ hai, quả bóng đạt độ cao \({h_2} = \frac{2}{3}{h_1}\).

Tương tự, lần nảy lên thứ \(n\), quả bóng đạt độ cao \({h_n} = \frac{2}{3}{h_{n - 1}}\).

\( \Rightarrow \) Tổng các quãng đường khi rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa bằng tổng độ cao của của bóng khi nảy lên + tổng khoảng cách rơi xuống của quả bóng.

\( \Rightarrow T = \left( {h + {h_1} + {h_2} +  \ldots  + {h_n} +  \ldots } \right) + \left( {{h_1} + {h_2} +  \ldots  + {h_n} + {h_{n + 1}} +  \ldots } \right)\)

\( \Rightarrow T\) là tổng của hai cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu lần lượt là \(h\) và \({h_1}\); công bội \(q = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow T = \frac{h}} + \frac{}} = 3\left( {h + {h_1}} \right) = 3\left( {5 + \frac{2}{3}.5} \right) = 25(m){\rm{. }}\)