Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBD) là 45∘. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số \[\frac{V}{{{a^3}}}\] gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \cap (SAD) = SA}\\{(SAB) \bot (ABCD)}\\{(SAD) \bot (ABCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow SA \bot (ABCD)\)

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ⇒AH ⊥ SB.

Dễ thấy AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SB.

Do đó: SB ⊥ (AHD) ⇒ SB ⊥ HD.

Khi đó ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \cap (SBD) = SB}\\{AH \bot SB;HD \bot SB}\\{AH \subset (SAB);HD \subset (SBD)}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SAB);(SBD)) = \widehat {AHD} = {45^^\circ }\) .

Hay ΔAHD vuông cân tại A ⇒ AH = AD = a.

ΔSAB vuông tại A: \(\frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{\sqrt 3 }}.\)

Suy ra \(V = {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}.2{a^2} = \frac{{4{a^3}}}{{3\sqrt 3 }}\). Vậy \(\frac{V}{{{a^3}}} = \frac{4}{{3\sqrt 3 }} \approx 0,77\).

 Chọn C