Kết quả giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3|x| - 17}} = \frac{{\sqrt a }}{b}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\)

Phương pháp giải

Lời giải

Ta \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3|x| - 17}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {2 - \frac{7}{x} + \frac{{{x^2}}}} \right)} }}{{3|x| - 17}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{|x|\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{{x^2}}}} }}{{3|x| - 17}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{{x^2}}}} }}{{ - 3x - 17}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{{x^2}}}} }}{x}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt a }}{b} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 3}\end{array}} \right.\)

 Chọn D