Xét các số thực dương a, b, x, y thoả mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _a}b\), biến đổi x, y và \(P\) theo \(t\).

- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải

Đặt \(t = {\log _a}b\). Vì \(a,b > 1\) nên \(t > 0\).

Ta có: \({a^x} = \sqrt {ab}  \Rightarrow x = {\log _a}\sqrt {ab}  = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}(1 + t)\).

\({b^y} = \sqrt {ab}  \Rightarrow y = {\log _b}\sqrt {ab}  = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)\).

Vậy \(P = x + 2y = \frac{1}{2}(1 + t) + 1 + \frac{1}{t} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2} + \frac{1}{t} \ge \frac{3}{2} + \sqrt 2 \).

Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{t}{2} = \frac{1}{t} \Leftrightarrow b = {a^{\sqrt 2 }}\).

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) bằng \(\frac{3}{2} + \sqrt 2 \) thuộc nửa khoảng \(\left[ {\frac{5}{2};3} \right)\).

 Chọn D