Tìm điều kiện tham số \({\rm{m}}\) để hàm số \(y = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải

Hàm số logarit 

Lời giải

Ta có: \(y' = \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} + 4}} - m = \frac{x}{{{x^2} + 4}} - m\)

Hàm số \(y = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} + 4}} - m \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m \ge \frac{x}{{{x^2} + 4}}\forall x \in \mathbb{R}\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{x}{{{x^2} + 4}}\) trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \(g'(x) = \frac{{1.\left( {{x^2} + 4} \right) - 2x.x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \frac}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\\\min g(x) = \frac{{ - 1}}{4};\max g(x) = \frac{1}{4}\\m \ge \frac{x}{{{x^2} + 4}}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \max g(x) = \frac{1}{4}\end{array}\)

 Chọn B