Cho \(({\rm{H}})\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \({\rm{y}} = \sqrt 3 {{\rm{x}}^2}\), cung tròn có phương trình \({\rm{y}} = \sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\) ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Phương pháp giải

- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị

- Sử dụng phương pháp đổi biến để tính diện tích.

Tính diện tích hình phẳng khi biết hai đường giới hạn 

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 

\(\sqrt 3 {x^2} = \sqrt 4  - {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm 1\) với \(0 \le x \le 2\) nên ta có \(x = 1\)

Ta có diện tích:

\(S = \int_0^1 {\sqrt 3 } {x^2}dx + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{3}{x^3}} \right|_0^1 + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx\)

Đặt: \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt;\,\,x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6};x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow S = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \left. {2\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{4\pi  - \sqrt 3 }}{6}\)