Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\), \(BC\); \(P\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

Giải thích

Trong tam giác \(BCD\) có: \(P\) là trọng tâm, \(N\) là trung điểm \(BC\). Suy ra \(N,P,D\) thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác \(MND\).

Xét tam giác \(MND\), ta có \(MN = \frac{2} = \frac{a}{2};DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó tam giác \(MND\) cân tại \(D\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(MN\) suy ra \(DH \bot MN,MH = \frac{a}{4}\).

Diện tích tam giác .