Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {{x^2} - x - m} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 2} \right)\) có nghiệm với mọi giá trị \(x\) thuộc tập xác định là

Giải thích

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x - m > 0}\\{x - 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x - m > 0}\\{x > 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương với

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {{x^2} - x - m} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - x - m} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{(x - 2)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - m \ge {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow m \le 3x - 4\left( {{\rm{**}}} \right)\).

Khi đó, \({x^2} - x - m > 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - m \ge {x^2} - x - 3x + 4 = {x^2} - 4x + 4 = {(x - 2)^2} > 0\) (vì \(x > 2\)).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị \(x\) thuộc tập xác định khi \(\left( {{\rm{**}}} \right)\) có nghiệm với mọi giá trị \(x\) thuộc tập xác định \( \Leftrightarrow m \le \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} \left( {3x - 4} \right) \Rightarrow m \le 2\).

 Chọn D