Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\). Tìm \({\rm{m}}\) để mọi bộ ba số phân biệt \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{{\rm{[}} - 1;3]} y;\mathop {{\rm{max}}}\limits_{a[ - 1;3]} y\)

Bước 2: Để \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( a \right) > 0}\\{f\left( a \right) + f\left( b \right) > f\left( c \right)}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1 \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 2 - m;y\left( 1 \right) =  - 2 - m;y\left( 3 \right) = 18 - m\)

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y =  - 2 - m;\,\,\mathop {{\rm{max}}}\limits_{a\left[ { - 1;3} \right]} y = 18 - m\).

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(f\left( a \right) \le f\left( b \right) \le f\left( c \right)\).

Vì \(a,b,c \in \left[ { - 1;3} \right]\) nên \( - 2 - m \le f\left( a \right) \le f\left( b \right) \le f\left( c \right) \le 18 - m\).

Để \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( a \right) > 0}\\{f\left( a \right) + f\left( b \right) > f\left( c \right)}\end{array}\left( {\rm{*}} \right)} \right.\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 - m \le f\left( a \right)}\\{ - 2 - m \le f\left( b \right)}\end{array} \Rightarrow f\left( a \right) + f\left( b \right) \ge  - 4 - 2m} \right.\).

Do đó (*) luôn đúng khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 - m > 0}\\{ - 4 - 2m \ge 18 - m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 2}\\{m \le  - 22}\end{array} \Leftrightarrow m \le  - 22} \right.} \right.\).

 Chọn A