Cho hàm số \(f\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(F\left( { - 1} \right) = 2,F\left( 1 \right) = F\left( 2 \right) = 14\). Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) là:

Phương pháp giải

\(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits^ ax + \frac{b}{{{x^2}}}dx\)

\( = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + c\)

Lời giải

Ta có:

\(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits^ ax + \frac{b}{{{x^2}}}dx\)

\( = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + c\)

\(\begin{array}{l}F( - 1) = 2 \Rightarrow \frac{a}{2} + b + c = 2\\F(1) = 14 \Rightarrow \frac{a}{2} - b + c = 14\end{array}\)

\(F(2) = 14 \Rightarrow 2a - \frac{b}{2} + c = 14\)

\( \Rightarrow a = 2,b =  - 6,c = 7\)

\(F(x) = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + c = {x^2} + \frac{6}{x} + 7\)

 Chọn B