Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành 2 đoạn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất thì tỉ số \(\frac{a}{r}\) bằng

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \((0 < x < 60)\).

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(60 - x\).

Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\)

\({S_1} = \pi .{r^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\)

Diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\frac{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình: \(S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{4}} \right)^2}\)

\( = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 120\pi x + 3600\pi }}{{16\pi }}\)

Đạo hàm: \(S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - 60\pi }}{{8\pi }};S' = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{60\pi }};S'' = \frac{{8\pi }} > 0\)

Suy ra hàm \({\rm{S}}\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \frac{{60\pi }}\)

Do đó \({\rm{S}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{60\pi }}\)

Với \(x = \frac{{60\pi }}\)

\( \to r = \frac{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)

\( \to a = \frac{4} = \frac{{\left( {4 + \pi } \right)}}\)

\( \to \frac{a}{r} = 2\)

 Chọn D