Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng α:x++z-4=0, mặt cầu S:x2+y2+z2-8x-6y-6z+18=0 và điểm M1;1;2∈α. Đường thẳng d đi qua M và nằm trong mặt phẳng α cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho dây cung AB có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

Chọn đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm I(4;3;3) và bán kính R = 4. Gọi I’ là hình chiếu của I trên mặt phẳng α.

Đường thẳng II' đi qua I(4;3;3) và nhận n=⇀1;1;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

Tọa độ điểm I’ thỏa mãn hệ

⇔t=-2. Suy ra I’(2;1;1).

Gọi hình tròn (C) bán kính r là thiết diện của khối cầu (S) khi cắt bởi mặt phẳng α. Khi đó I’ là tâm của đường tròn (C).

Ta có IM=14<4=R và M∈α nên điểm M thuộc miền trong của đường tròn (C) (M nằm trong hình trong hình tròn).

Do đường thẳng d⊂α, d đi qua M và d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B nên d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B.

Phương tích của điểm M với đường tròn (C): MA.MB=r2-I'M2.

Do r không đổi nên r2-I'M2 không đổi ⇒MA.MB không đổi.

Lại có

Dấu “=” xảy ra khi MA = MB hay AB⊥MI'.

Mà AB⊥MI' nên đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là  u⇀=II';⇀MI'⇀=2;-4;2(cùng phương với vectơ u2⇀)