Cho hình chóp S.ABCD có ABC^=ADC^=90°. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60°, CD=a và ΔADC có diện tích bằng a232. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

Đáp án A.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

 CB⊥AB,CB⊥SA,AB∩SA=A⇒CB⊥SAB⇒CB⊥SB⇒ΔSBC   

vuông tại B.

Lại có  

CD⊥AD,CD⊥SA,AD∩SA=A⇒CD⊥SAD⇒CD⊥SD

 ⇒ΔSDCvuông tại D.

Mặt khác  SA⊥ABCD⇒SA⊥AC⇒ΔSACvuông tại A.

Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: ΔSAC,ΔSBC,ΔSDC  lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên IS=IA=IB=IC=ID=12SC . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính R=12SC

2. Tính diện tích mặt cầu

Ta có SC,ABCD^=SC,AC^=SCA^=60°

Do ΔADC  vuông tại A nên  S?AC=12AD.CD⇔AD=2SΔADCCD=a23a=a3

⇒AC=AD2+CD2=a32+a2=2a

Mà AC=SC.cosSCA^⇒SC=2acos60°=4a

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=SC2=4a2=2a  và diện tích mặt cầu là S=4πR2=4π.2a2=16πa2  (đvdt).