Cho hàm số y=fx liên tục và không âm trên R thỏa mãn fx.f'x=2xf2x+1 và f0=0. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=fx trên đoạn 1;3. Biết rằng giá trị của biểu thức P=2M−m có dạng a11−b3+c, a,b,c∈ℤ. Tính a+b+c

Đáp án B.

Từ

fx.f'x=2xf2x+1⇒fx.f'xf2x+1=2x⇒∫fx.f'xf2x+1dx=∫2xdx

 (1)

Đặt  

f2x+1=t⇒f2x=t2−1⇒2fx.f'xdx=2tdt⇒fx.f'xdx=tdt

Suy ra  ∫fx.f'xf2x+1x=∫tdtt=∫dt=t+C1=f2x+1+C1và  ∫2xdx=x2+C2

Từ (1) ta suy ra f2x+1+C1=x2+C2  . Do  f0=0nên C2−C1=1 .

Như vậy  

f2x+1=x2+C2−C1=x2+1⇒f2x=x2+12−1=x4+2x2

⇒fx=x4+2x2=xx2+2=xx2+2

 (do x∈1;3 ).

Ta có f'x=x2+2+x2x2+2=2x2+1x2+2>0,∀x∈ℝ⇒  Hàm số fx=xx2+2  đồng biến trên R nên fx  cũng đồng biến trên 1;3  .

Khi đó M=max1;3fx=f3=311  và m=min1;3fx=f1=3 .

Vậy 

P=2M−m=611−3⇒a=6;b=1;c=0⇒a+b+c=7