Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM=x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và OM. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất

Đáp án B

Ta có

AF⊥OB,AF⊥MO⇒AF⊥MOB⇒AF⊥MB

Mà  MB⊥AEnên MB⊥AEF⇒MB⊥EF  .

Suy ra ΔMOB∽ΔMEN  , mà ΔMEN∽ΔFON nên ΔMOB∽ΔFON . Khi đó OBOM=ONOF⇒ON=OB.OFOM=a.a2x=a22x  .

Từ

VABMN=VM.OAB+VN.OAB=13.SΔOAB.OM+ON=13.a234.x+a22x

⇒VABMN=a2312x+a22x≥a2312.2x.a22x=a2312.2a=a3612

Dấu “=” xảy ra

⇔x=a22x⇔2x2=a2⇔x=a22.