Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;3;0,B0;−2;0,M65;−2;2 và đường thẳng d:x=ty=0z=2−t. Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

Đáp án C

Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tổng AC+BC  nhỏ nhất.

Do

C∈d⇒Ct;0;2−t⇒AC=2t−22+9BC=t2+2−t2+2=21−t2+4

Suy ra AC+BC=2t−222+9+2−2t2+4  .

Đặt  u→=2t−22;3và v→=2−2t;2 . Áp dụng bất đẳng thức u→+v→≥u→+v→  , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u→,v→  cùng hướng ta được:

2t−222+9+2−2t2+4≥−22+52=27

Dấu “=” xảy ra ⇔2t−222−2t=32⇔t−21−t=32⇔t=75 . Suy ra C75;0;35 .

VậyCM=75−652+0+22+35−22=2