Cho hình thoi ABCD có BAD^=60°,AB=2a. Gọi H là trung điểm của AB. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM=14BC. Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất

Đáp án A

Gọi φ  là góc giữa SC và (SAD), N là giao điểm của HM và AD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SN, I là giao điểm của HC với AD. Gọi E là điểm đối xứng với I qua K.

Ta có MB=14BC=a2,HB=a,HBM^=BAD^=60°

⇒HM=HB2+MB2−2HB.MB.cosHBM^

⇒HM=a2+a24−2a.a2.cos60°=32a

⇒HM2+MB2=32a2+a22=a2=HB2

 ⇒ΔHMB vuông tại M

 ⇒HM⊥MB hay MN⊥BC .

Vì  SH⊥ADdo SH⊥ABCDMN⊥ADdo MN⊥BC⇒AD⊥SMN⇒AD⊥HK, mà HK⊥SN  nên HK⊥SAD . Lại có HK là đường trung bình của ΔICE  nên HK//CE . Suy ra CE⊥SAD  tại E và SE là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Vậy φ=SC,SAD^=SC,SE^=CSE^ .

Đặt SH=x,x>0  . Do ΔSHN  vuông tại H có HK là đường cao nên ta có

1HK2=1SH2+1HN2⇒HK=SH.HNSH2+HN2=3ax4x2+3a2⇒CE=2HK=23ax4x2+3a2

Do ΔSHC  vuông tại H nên

SC=SH2+HC2=SH2+HM2+MC2=x2+32a2+5a22=x2+7a2

 ΔSEC vuông tại E nên sinφ=sinCSE^=ECSC=23ax4x2+3a2x2+7a2

⇒sinφ=23ax4x4+21a4+31a2x2≤23ax421a2x2+31a2x2=23421+31

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4x4=21a4⇔x4=214a4⇔x=2144a .

Vậy gócφ  đạt lớn nhất khi  sinφ đạt lớn nhất, khi đó SH=2144a