Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACC′A′) và (BCC′B′) hợp với nhau góc 90⁰.

Gọi D là trung điểm của AB. Trong (CC′D) kẻ OH⊥CC'⇒OH=a

CD⊥ABC'O⊥AB⇒AB⊥(CC'D)⇒AB⊥CC'

Trong (ABC), qua O kẻ EF//ABE∈BC;F∈AC

Ta có: EF⊥CC'OH⊥CC'⇒CC'⊥(EFH)⇒CC'⊥HE;CC'⊥HF

Ta có:

(ACC'A')∩(BCC'B')=CC'(ACC'A')⊃HF⊥CC'(BCC'B')⊃HE⊥CC'⇒((ACC'A');(B^CC'B'))=(HF;H^E)=900⇒HE⊥HF

⇒ΔHEF vuông tại H

ΔHCE=ΔHCFc.g.v−c.h⇒HE=HF⇒ΔHEF vuông cân tại H ⇒EF=2HO=2a

Ta có: EFAB=COCD=23⇒AB=32EF=32.2a=3a

⇒SΔABC=AB234=9a234CD=AB32=3a32⇒CO=23AB=23.3a32=a3

C'O⊥ABC⇒C'O⊥CO⇒ΔCC'O vuông tại O

⇒1OH2=1C'O2+1CO2⇒1C'O2=1OH2−1CO2=1a2−13a2=23a2⇒C'O=62a

Vậy VABC.A'B'C'=C'O.SΔABC=a62.9a234=27a328Đáp án cần chọn là: D