Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2+xy+4=4y+3x. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3x3−y3+20x2+2xy+5y2+39x

Lời giải:

Theo giả thiết:

x2+y2+xy+4=4y+3x

⇔y2+x−4y+x2−3x+4=0

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn y và khi đó điều kiện có nghiệm là:

Δ=x−42−4x2−3x+4≥0

⇔x2−8x+16−4x2+12x−16≥0

⇔−3x2+4x≥0⇔0≤x≤43

Từ giả thiết suy ra x2+y2+xy=4y+3x−4. Khi đó:

P=3x−yx2+xy+y2+20x2+2xy+5y2+39x

P=3x−y3x+4y−4+20x2+2xy+5y2+39x

P=33x2+xy−4y2−4x+4y+20x2+2xy+5y2+39x

P=29x2+5xy−7y2+27x+12y

P=5x2+5xy+5y2+24x2−12y2+27x+12y

P=5x2+xy+y2+24x2−12y2+27x+12y

P=53x+4y−4+24x2−12y2+27x+12y

P=24x2−12y2+42x+32y−20

P=212x2−6y2+21x+16y−20

Đặt gy=−6y2+16y+21x+12x2 (ta xem x là tham số)

Khi đó  gy≤g43=12x2+21x+323

Do x∈0;43 nên 12x2+21x+323≤60

Suy ra gy≤60. Vậy giá trị lớn nhất của P là 100 khi  x=y=43

Đáp án cần chọn là: A