Cho hàm số y=fxcó đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f0+f1=0. Biết rằng tích phân ∫01f2xdx=12,∫01f'x.cosπxdx=π2.Tính tích phân ∫01fxdx?

Đáp án B.

Ta có∫01f'x.cosπxdx

=∫01cosπxdfx=fx.cosπx01−∫01fx.cosπx'dx 

=−f1+f0+π∫01fx.sinπxdx=π2⇒∫01fx.sinπxdx=12. 

Xét ∫01fx+k.sinπx2dx=0

⇔∫01f2xdx+2k.∫01fx.sinπxdx+k2.∫01sin2πxdx=0 

⇔12k2+2k.12+12=0⇔k+12=0⇔k=−1.

Suy ra ∫01fx−sinπx2dx=0. 

Vậyfx=sinπx⇒∫01fxdx=∫01sinπxdx=2π.