Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn đẳng thức x+2x.fx=f'x2,∀x∈1;4. Biết rằng f1=32,tính I=∫14fxdx?

Đáp án A.

Vì y=fx là hàm số đồng biến trên 1;4⇒fx≥f1=32.

Khi đó:

x+2x.fx=f'x2⇔x.2fx+1=f'x⇔f'x2fx+1=x (*).

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

∫f'x2fx+1dx=∫xdx=23xx+C (1).

Đặt t=2fx+1

⇔dt=f'x2fx+1dx⇒∫f'x2fx+1dx=∫dt=t (2).

Từ (1), (2) suy ra 2fx+1=23xx+C mà f1=23⇒2.32+1=C+23⇔C=43.

Do đó:

2fx+1=23xx+43⇔fx=1223xx+432−1.

 Vậy ∫14fxdx=118645.