Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên ℝ và đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ sau:Hỏi phương trình f12cos2x+12−13cos6x−14sin22x+724−f12=0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng π4;2π?

Chọn D.

+ Phương trình ⇔fcos2x−12cos6x+cos4x−cos2x=f12−13123+122−12.*

+ Xét hàm số gt=ft−13t3+t2−t trên [0;1]

Ta có: g't=f't−t−12

Từ tương giao giữa đồ thị f' và Parabol y=x−12 trên đoạn [0;1]

Suy ra: f't≥t−12,∀t∈0;1⇔g't≥0,∀t∈0;1

Hay g(t) là hàm số đồng biến trên [0;1]

+ Do đó:

*⇔gcos2x=g12⇔cos2x=12, (do cos2x∈0;1)⇔cos2x=0⇔x=π4+kπ2).

Dễ dàng suy ra phương trình có 3 nghiệm trên khoảng π4;2π.