Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM.

Đáp án D.

Phương pháp: 

- Xác định chân đường cao của đỉnh S đến mặt phẳng đáy.

- Tính thể tích khối chóp: V=13Sh 

Cách giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. 

Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân tại S nên SI⊥AB,  SJ⊥CD 

Mà AB//CD⇒AB, CD⊥SIJ 

Dựng SH⊥IJ,  H∈IJ⇒SH⊥ABCD (do SH⊥IJ và SH⊂SIJ⊥CD)

Trong (ABCD), kẻ

BM⊥AH,  M∈CD,AH∩BM=T.

Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

+) ΔSAB đều, cạnh a ⇒SI=a32 

+) ΔSCD vuông cân tại S,

CD=a⇒SJ=CD2=a2 

+) ABCD là hình vuông cạnh a

⇒IJ=a 

Tam giac SIJ có:

IJ2=SI2+SJ2⇒ΔSIJ vuông tại S.

Mà

SH⊥IJ⇒SI2=IH.IJ⇒a322=IH.a⇒IH=3a4 

Và

1SH2=1SI2+1SJ2=1a322+1a22=163a2⇒SH=a34 

Dễ dàng chứng minh ΔAIH đồng dạng tam giác

ΔBCM⇒SAIHSBMC=AIBC2=14⇒SBCM=4SAIH=4.12.a2.3a4=3a24 

SBDM=SBCM−SBCD=34a2−12a2=a24 

Thể tích khối chóp S.BDM:

VS.BDM=13.SH.SBDM=13.a34.a24=3a348