Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a3. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, A'H=a3. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng A’B và B’C. Tính cosφ.

Đáp án B.

Phương pháp:

Sử dụng công thức Côsin:

a2=b2+c2−2bccosA

Cách giải:

Dựng hình bình hành ABCD (tâm I). Khi đó, A’B’CD là hình bình hành (do A'B'→=AB→=DC→)

⇒A'D//B'C⇒A'B;B'C=A'B;A'D 

Tam giác ABC vuông tại A 

⇒BC=AB2+AC2=a2+a32=2a 

H là trung điểm của BC

⇒HB=HC=a

Tam giác A’BH vuông tại H

⇒A'B=A'H2+HB2=a32+a2=2a 

Tam giác ABC vuông tại A

⇒cosABC=ABBC=a2a=12 

ABCD là hình bình hành

⇒AB//CD⇒DCB=1800−ABC⇒cosDCB=−cosABC=-12

 Tam giác BCD:

BD=BC2+CD2−2BC.CD.cosDCB=2a2+a2−2.2a.a.−12=a7 

Tam giác CDH:

DH=CH2+CD2−2CH.CD.cosDCB=a2+a2−2a.a.−12=a3 

Tam giác A’DH vuông tại H:

A'D=A'H2+HD2=a32+a32=a6 

Tam giác A’BH:

cosBA'D=A'D2+A'B2−BD22A'D.A'B=a62+2a2−7a22.a6.2a=346=68.